2.1.+Función+Lineal

La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos. Una función lineal tiene la forma general Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b). La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y. Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a. Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (funcion ingreso) donde "**//y//**" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos. Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:
 * Ejemplo:**

1. Es función creciente 2. Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. 3. D (f) = R0+ I (f) = En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales,
 * Podemos observar:**


 * Por ejemplo:**

Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme) Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo está en función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente. Longitud de la circunferencia en función del radio. Unidad de riego en función de la superficie. La función lineal es del tipo: Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. y = 2x
 * y = mx**
 * ~ x || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 ||
 * ~ y = 2x || 0 || 2 || 4 || 6 || 8 ||

Pendiente
//**Función lineal**//
 * La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.**
 * Si m > 0 la función es creciente** y **ángulo** que forma la recta con la parte positiva del eje OX es **agudo**.
 * Si m < 0 la función es decreciente** y **ángulo** que forma la recta con la parte positiva del eje OX es **obtuso**.

Introducción:  Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado **Dominio**, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado **Codominio,** de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio. Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5, g: g(x) = -3x+7 , h: h(x) = 4 **Definición:**  Las funciones lineales son polinomios de primer grado. Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1. Ejemplos de funciones lineales: **a(x) = 2x+7**  b(x) = -4x+3  f(x) = 2x + 5 + 7x - 3 De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla,  f(x) = 9x + 2 Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso. Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R. Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6" Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores. **f: R ——> R / f(x) = 2x-6** <span style="display: block; text-align: left; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">Le vamos dando valores a "x". ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que este dentro del dominio. Por ejemplo, si x = 5, entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6 f(5) = 4 Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4). ¿Cómo se coloca en un par de ejes coordenados? <span style="color: rgb(0, 102, 51);"> **¿Que tal si repasamos esto?**

<span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">Y ahora que ya sabemos colocar los puntos, podemos hacer la gráfica de una función lineal. Con el botón "<span style="color: rgb(0, 0, 255);">**paso a paso** " iremos construyendo juntos la gráfica de una recta. Cuando termines, con el botón "**<span style="color: rgb(255, 0, 0);">de nuevo **" podrás hacer otra gráfica. <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">f: R —> R / f(x) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">**a** .x+<span style="color: rgb(0, 0, 255);">**b** <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">Una función lineal cumple además, que el **incremento** de los valores de los elementos del dominio es <span style="color: rgb(153, 0, 0);">proporcional al **incremento** de los valores en el codominio, siempre que **<span style="color: rgb(255, 0, 0);">a ** **no sea cero.** Este número **<span style="color: rgb(255, 0, 0);">a ** se llama pendiente o coeficiente angular de la recta. Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales <span style="color: rgb(153, 0, 204);">f: f(x) = 2x+5, <span style="color: rgb(102, 51, 0);">g: g(x) = -3x+7 , <span style="color: rgb(255, 0, 0);">h: h(x) = 4 <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal; color: rgb(153, 0, 204);"> f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11 si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13 si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15 Cada vez que la <span style="color: rgb(153, 0, 204);">**x** se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, **<span style="color: rgb(153, 0, 204);">f(x) **, se incrementa en <span style="color: rgb(153, 0, 204);">**2** unidades. Preste atención en que los valores de <span style="color: rgb(0, 0, 255);"> **x** y de **<span style="color: rgb(0, 0, 255);">f(x) ** NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los <span style="color: rgb(255, 0, 0);">incrementos. <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal; color: rgb(102, 51, 0);">g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7 si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4 si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1 Cada vez que la <span style="color: rgb(102, 51, 0);">**x** se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, **<span style="color: rgb(102, 51, 0);">g(x) **, disminuye en <span style="color: rgb(102, 51, 0);">**3** unidades. <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal; color: rgb(255, 0, 0);">h: h(x) = 4 si x= 0, entonces h(0) = 4 si x= 98, entonces h(98) = 4 Cada vez que la <span style="color: rgb(255, 0, 0);">**x** se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, **<span style="color: rgb(255, 0, 0);">h(x) **, NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX. ¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j? Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3 Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos. Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia. La representación gráfica de h es una linea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos. Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función. **<span style="color: rgb(255, 0, 0);">El [|dominio] es muy importante. ** <span style="color: rgb(255, 0, 0); font-family: Comic Sans MS;">Cuando **no** se especifíca el dominio y codominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.

<span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">Veamos otro ejemplo: <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">Esta función,<span style="color: rgb(153, 51, 0);"> llamada<span style="color: rgb(153, 51, 0);"> <span style="color: rgb(255, 0, 0);">q, **¿ será lineal ?** Supongamos, además, que es una función de R en R. Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón. <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">Dominio <span style="color: rgb(0, 0, 255); font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">x || <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">Codominio <span style="color: rgb(0, 0, 255); font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">y || <span style="display: block; text-align: left; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3 Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1 Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, **parece** que si Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con esto. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal ? <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;"> Primero lo piensas y luego toca el botón "lineal". <span style="color: rgb(51, 153, 255); font-family: Comic Sans MS;">**RESUMEN** : Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresion analítica es <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;"> <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">f: R —> R / f(x) = <span style="color: rgb(255, 0, 0);">**a** .x+<span style="color: rgb(0, 0, 255);">**b** con<span style="color: rgb(255, 0, 0);"> **a** <span style="font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">y <span style="color: rgb(255, 0, 0);"> <span style="color: rgb(0, 0, 255);">**b** números reales. La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente <span style="color: rgb(255, 0, 0);">**a** y la ordenada en el origen es <span style="color: rgb(0, 0, 255);"> **b**. [|¿como puedo hayar el punto de corte de la recta con el eje x?] [|¿como puedo hayar el punto de corte de la recta con el eje x con gráficas?] [|Un ejercicio resuelto: costo, ingreso, ventas, beneficio.] media type="youtube" key="Zmo6QK6Knx4" width="425" height="350"
 * <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">4 || <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">1 ||
 * <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">7 || <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">2 ||
 * <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">13 || <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">4 ||
 * <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">16 || <span style="display: block; text-align: center; font-family: Tahoma,Trebuchet MS,Terminal;">9 ||


 * Fuente:** [| http://www.fce.unam.edu.ar/PMA/Modulo1/FunE] Type in the content of your page here.