Función matemática


Observa el video, luego relacionalo con el contenido y responde en "discución" de la actividad virtual No 1, ¿crees que las funciones tiene utilidad para las personas?, si tu respuesta es afirmativa, indica alguna.

Contenido

  • 1 Notación y nomenclatura
    • 1.1 Valor o imagen
    • 1.2 Dominio
    • 1.3 Codominio
    • 1.4 Imagen
    • 1.5 Preimagen
    • 1.6 Ejemplos
  • 2 Igualdad de funciones
  • 3 Representación de funciones
  • 4 Clasificación de las funciones
    • 4.1 Aplicación inyectiva y no sobreyectiva
      • 4.1.1 Ejemplo
      • 4.1.2 Segundo ejemplo
    • 4.2 Aplicación no inyectiva y sobreyectiva
      • 4.2.1 Ejemplo
      • 4.2.2 Segundo ejemplo
    • 4.3 Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)
      • 4.3.1 Ejemplo
      • 4.3.2 Segundo ejemplo
    • 4.4 Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva
      • 4.4.1 Ejemplo
      • 4.4.2 Segundo ejemplo
    • 4.5 Resumen
  • 5 Álgebra de las funciones
    • 5.1 La Composición de funciones
    • 5.2 La función identidad
    • 5.3 La Restricción de una Función
    • 5.4 Función inversa
  • 6.0 Funciones (con valores) Reales
    • 6.1.1 Álgebra de Funciones
  • 7.0 Funciones numéricas
    • 8..1 Funciones pares e impares
    • 8.2 Funciones reales y funciones discretas
  • 9.0 anexo: funciones matematicas
  • DEFINICION



external image 180px-Aplicaci%C3%B3n_2.svg.png

external image magnify-clip.png Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.
En Matemáticas, una función f de un conjunto X en un conjunto Y es una asignación o correspondencia matemática denotada por:

external image 34df88d39d1c93bc40eb5d0024c4ea91.png
tal que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. También se usa llamar aplicaciones a las funciones.
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento external image 735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png con un (y sólo un) external image 437f7046cb463518a28b277a85b47a5c.png se denota external image 7ad9cf9949099a320b97dce044a1feba.png, en lugar de external image fc6b8f9ad29a02e914ed3191a5a6627e.png
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:
  1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, external image eab53bb93f11d1a81e7b92c0280e7d3e.png
  2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si external image b5b1f33c9f6e9c127e7ebaa27d91060b.png


Valor o imagen

Sea external image 0d05f91d31fef9c0a01768860bcc1962.png (o sea, f es una función de (el conjunto) X en (el conjunto) Y. Cuando x es un elemento de X, se denota por f(x) al elemento de Y asignado por la función f a x.
Decimos que f(x) es el valor o imagen de la función f en el argumento x.

Dominio

El dominio de external image 0d05f91d31fef9c0a01768860bcc1962.png es el conjunto X. Dicho conjunto también se llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por external image bd0bdaa397fa19db9dd063a672f233d5.png o external image 88f0ab037be25ebc5458ba42c3c8abcf.png.

Codominio

El codominio, conjunto de llegada, conjunto final external image 0d05f91d31fef9c0a01768860bcc1962.png es el conjunto Y.

Imagen

La imagen, alcance o recorrido de la función external image 0d05f91d31fef9c0a01768860bcc1962.png es el subconjunto de Y formado por todos los valores o imágenes de elementos de X por f. Se denota por external image c949c6c694633f3e7ebdb7a85d13e186.png o external image f901c8f72e84f91e58bfc0f1e690e031.png o external image 06e9c29be8b22b9257e57ec136590683.png.
external image 940385f9f1a177478b895ebc0197329c.png


Observa el video, ¿consideras que como futuro(a) profesional, haras uso de funciones?Explica. Escribe en discusión de la atividad virtual No 1

Ejemplos

  • La función definida por external image 449f69d2e32762d4e9cac9386ef11ff7.png, tiene como dominio, rango e imagen a todos los números reales external image 3e00a585f8e371656dcdff733588ecee.png
external image 250px-Aplicaci%C3%B3n_2.svg.pngFunción con Dominio X
  • Para la función external image e45899689ac2ba5033568614624ed531.png tal que external image 9d119ac3c153eff6af69d962fc2fe194.png, en cambio, si bien su dominio es igual a external image 69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y mas infinito que sean el cuadrado de un número real.
  • En la figura se puede apreciar una función external image 34df88d39d1c93bc40eb5d0024c4ea91.png, con
external image 506f61d8b6dbf8d27d181414bec159d2.pngexternal image 0a9329265f6e80ea58be29df993ff487.pngNote que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,external image 49e8b0719b77915f0aab42ba2e912a18.pngEsta función representada como relación, queda: external image bb9af61dcad72c779012c3157a1a90ec.png

Ejemplo de como determinar el dominio y el rango de una función


Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:
  • usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales.
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".
  • Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.
Ejemplo:
   X| -2 -1  0  1  2  3
   Y|  0  1  2  3  4  5
 
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}
Ejemplo:
5





X
4




X

3



X


2


X



1

X




0
X





y / x
-2
-1
0
1
2
3

Clasificación de las funciones

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:
external image 300px-Conjuntos_01.svg.png
  • Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
  • Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
  • Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, suprayectivas pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especifico.
'Definiciones alternas: sea external image d10653246b8510daf15d33d41141919f.png dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación
external image 3bd0c604dc1e329bfec16d204dc16d22.png.
  • la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.
  • la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
  • la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva
Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.
En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.
En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:
todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectivael elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

external image 220px-Correspon_1402.svg.png
Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:
external image 8eb98ad279e977939ea1eda8d4f85284.png
external image 30px-Correspon_P0.svg.png,
external image 30px-Correspon_P2.svg.png,
external image 30px-Correspon_P4.svg.png
external image b752132764734448b12a5a3dd2cda51c.png
Sobre el conjunto de caras pintadas:
external image b2f2230b8d8d2b49c53253479038ecd8.png
external image 30px-Correspon_C0.svg.png,
external image 30px-Correspon_C2.svg.png,
external image 30px-Correspon_C4.svg.png,
external image 30px-Correspon_C1.svg.png
external image b752132764734448b12a5a3dd2cda51c.png
Asociando cada pincel con la cara correspondiente:
external image 120px-Correspon_30.svg.png
Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva
Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.
Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:
el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva.todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Segundo ejemplo

external image 220px-Correspon_1502.svg.png
Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:
external image 8eb98ad279e977939ea1eda8d4f85284.png
external image 30px-Correspon_P0.svg.png,
external image 30px-Correspon_P2.svg.png,
external image 30px-Correspon_P4.svg.png,
external image 30px-Correspon_P4.svg.png
external image b752132764734448b12a5a3dd2cda51c.png
En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.
Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:
external image b2f2230b8d8d2b49c53253479038ecd8.png
external image 30px-Correspon_C0.svg.png,
external image 30px-Correspon_C2.svg.png,
external image 30px-Correspon_C4.svg.png
external image b752132764734448b12a5a3dd2cda51c.png
Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Aplicación biyectiva
Aplicación biyectiva

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.
En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.
Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:
  • Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo

f(x)= 2x
f(x)= 2x

en el diagrama de la figura:
todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectivatodos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.
Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:
external image 0d17bcbbadaad537fd259f311915c3f7.png
y por conjunto final el de los números naturales pares:
external image eec484124854f0408eb127f83aa61532.png
Podemos ver que la relación
external image d10653246b8510daf15d33d41141919f.pngexternal image b1fef21fe219cb2f665db3b127cdf296.png
Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:
  1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.
  2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.
  3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen
Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

Segundo ejemplo

external image 220px-Correspon_1602.svg.png
Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:
external image 8eb98ad279e977939ea1eda8d4f85284.png
external image 30px-Correspon_P0.svg.png,
external image 30px-Correspon_P2.svg.png,
external image 30px-Correspon_P4.svg.png,
external image 30px-Correspon_P1.svg.png
external image b752132764734448b12a5a3dd2cda51c.png
y el de caras como conjunto final:
external image b2f2230b8d8d2b49c53253479038ecd8.png
external image 30px-Correspon_C0.svg.png,
external image 30px-Correspon_C2.svg.png,
external image 30px-Correspon_C4.svg.png,
external image 30px-Correspon_C1.svg.png
external image b752132764734448b12a5a3dd2cda51c.png
La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.
Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva
Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.
Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:
el elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectivael elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

external image 220px-Correspon_1302.svg.png
Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:
external image 8eb98ad279e977939ea1eda8d4f85284.png
external image 30px-Correspon_P0.svg.png,
external image 30px-Correspon_P2.svg.png,
external image 30px-Correspon_P4.svg.png,
external image 30px-Correspon_P4.svg.png
external image b752132764734448b12a5a3dd2cda51c.png
y como conjunto final el de caras coloreadas:
external image b2f2230b8d8d2b49c53253479038ecd8.png
external image 30px-Correspon_C0.svg.png,
external image 30px-Correspon_C2.svg.png,
external image 30px-Correspon_C4.svg.png,
external image 30px-Correspon_C1.svg.png
external image b752132764734448b12a5a3dd2cda51c.png
Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática.
Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.


Resumen

external image 200px-Surjection.svg.png

Sobreyectiva, no inyectiva
external image 200px-Injection.svg.png

Inyectiva, no sobreyectiva
external image 200px-Bijection.svg.png

Biyectiva
external image 200px-Total_function.svg.png

No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones


La Composición de funciones

Artículo principal: Función compuesta
Dadas funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): AC tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.
external image 328891c5a289d516d8e625bff3ad16b3.pngexternal image 0a9f6fc38c51b97474afccc0bfd09eb3.png

La función identidad

Artículo principal: Función identidad
Dado un conjunto external image 83adddde03358a30052c9083f4d2278c.png, la función external image 6eee5df4e0659e7ad622273d20d105aa.png que asigna a cada x de external image 7b80ebccd4420d9579e7d488396b7f5c.png el mismo x de A, se denomina función identidad. También se simboliza por 1A o idA.

Función inversa

Artículo principal: Función recíproca
Dada una función external image 5ed8885efac3c48f8940b3315e682a45.png, se llama una (función) inversa de external image aa0698b903fdc2e97ce0b2fe6e0c91e2.png, a una función external image a783e4fcd64d2296fc3f6a4f40e227da.png tal que se cumple las siguientes condiciones:
external image 5cae9b6412b6bc5257818113d945815b.png
.
Decimos también que la función f es invertible
Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por external image 86e350c6ff763b5473b65c279f44c75c.png.

Se verifica también las siguientes propiedades.
  • Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
  • La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.
  • La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su imversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.
external image e65a65f1e29d7d41d2a4b0f603940982.png.




Funciones (con valores) Reales

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.
Llamamos función real o función con valores reales a cualquier función cuyo codominio sea un subconjunto de los Reales.

Álgebra de Funciones

Sea X un conjunto culaquiera no vacío y sea external image ac6d15a381191886f3efb7b05f8de7b8.png el conjunto formado por todas las funciones de X en external image 0c95a37acc94ef8c093ce39c36e07886.png. Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a external image ac6d15a381191886f3efb7b05f8de7b8.png, como veremos a continuación.
Sean external image 533357a82c2b74e3a37970df1ce44ac0.png elementos de external image ac6d15a381191886f3efb7b05f8de7b8.png. Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por
  • external image 99a5683658122baf4d4bd1a00531d54f.png Suma de Funciones.
  • external image a6d3028c9b0255047e58b50a250c6d9d.png Resta de Funciones.
  • external image f2e2b7c717f2e4ecb966c0a2d6d32e79.png Producto de Funciones.
  • .
La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a external image ac6d15a381191886f3efb7b05f8de7b8.png. Indicamos a continuación aquellas más importantes.
  • La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante external image 971ba2c0979a6098bd5f64b2f7419490.png, con opuesto aditivo f para cada función f.
  • La resta es tal que fg = f + ( − g).
  • La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante external image a14667d23bbc0a21a6e7907de38af470.png, pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.
  • La multiplicación es distributiva respecto a la suma.
Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales.

Funciones numéricas

Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales.


Funciones pares e impares

Artículo principal: Función parArtículo principal: Función impar
Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si
external image 6fd6144ae8fc0632ecbbb3b3dbcc9ec9.png
Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si
external image fa8e82a0385dc2f4a6c9fb0e47894d46.png
Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.



Funciones reales y funciones discretas

Artículo principal: Función realArtículo principal: Función discreta

Véase también



Saca conclusiones del video. Escribelas en discusión de la actividad virtual No. 1